Doctorado en Ciencia con Mención en Matemática

Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación

Análisis I

NOMBRE DEL CURSO:  ANÁLISIS I (ANÁLISIS COMPLEJO) 

NÚMERO DE CRÉDITOS:  10 SCT (6 horas pedagógicas)

Descripción del curso Está dedicado principalmente al estudio de singularidades, del espacio de las funciones analíticas y del espacio de las funciones meromorfas.
Objetivos Se pretende que el alumno maneje los principales conceptos del análisis complejo, pueda calcular integrales usando residuos, sea capaz de resolver problemas usando principios como el del máximo y Lema de Schwartz. Sea capaz de aplicar resultados como el Teorema Hurwitz y Teorema de Montel en el estudio de sucesiones de aplicaciones analíticas y meromorfas. 
Contenidos

Topología en el plano complejo y plano complejo extendido. Curvas de Jordan. Conjuntos conexos y simplemente conexos. Series de potencia.

Convergencia uniforme en las partes compactas del plano complejo. Funciones holomorfas.  Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones analíticas. Estudio de funciones de Möbius, polinomios, funciones racionales, trigonométricas, función argumento, logarítmo, raíces.  Formas diferenciales complejas. Integración de formas y de funciones complejas. Representación en series de potencia de funciones analíticas. Ceros de funciones analíticas.  Teorema de Cauchy. Índice de una curva cerrada. Teorema de Morera, Teorema de la aplicación abierta y Teorema de Goursat.

Estudio de singularidades. Clasificación. Residuos, principio del argumento. Teorema de Rouche. Teorema del módulo máximo. Principio del máximo. Lema de Schwartz. La esfera de Riemann. Cartas locales. Introducción al estudio de las superficies de Riemann.

Modalidad de Evaluación Controles y exposiciones
Bibliografía

Básica

1-       Conway, J.B., Functions of one complex variable, Springer Verlag, New York, 1973;

2-       Lins Neto, A., Funçoes de uma variável complexa.  Projeto Euclides. IMPA, 1993.

3-       Lang, S.  Complex Analysis.  New York, Springer Verlag, 1993.

4-       M.J. Ablowitz; A.S. Fokas, Introduction and applications of complex variables. Cambridge University Press 1997.

 

Recomendada:                      

Conway, J.B., Functions of one complex variable, Springer Verlag, New York, 1973