Programa de Doctorado en Ciencia con mención en MatemáticaDepartamento de Matemática y Ciencia de la Computación

Topología y Geometría I

Nombre del curso:

TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA I (ANÁLISIS GEOMÉTRICO)

Número de créditos:

10 SCT (6 horas pedagógicas)

Descripción de curso

Este curso está dedicado a la teoría de variedades diferenciables con y sin frontera.

Objetivos

Se pretende que el alumno se familiarice con los conceptos relativos a variedades diferenciables: aplicaciones diferenciables, espacio tangente, subvariedades, transversabilidad, grupos de Lie, campos de vectores, fibrados vectoriales, métricas Riemannianas, orientación e integración en variedades. Que conozca los principales ejemplos y contraejemplos y sea capaz de resolver problemas.

Contenidos

  1. Variedades diferenciables.
  2. Aplicaciones entre variedades diferenciables.
  3. Espacio tangente y derivadas.
  4. Inmersiones.
  5. Incrustaciones y subvariedades.
  6. Submersiones y transversalidad.
  7. Grupos de transformaciones y variedad cuociente.
  8. Partición de la unidad.
  9. Métricas Riemannianas.
  10. Variedades orientables.
  11. Grupos de Lie.
  12. Funciones de Morse.
  13. Integración en variedades.
  14. Teoremas de Green, Gauss y Stokes.
  15. Teorema de separación de Jordan-Brouwer.

Modalidad de Evaluación

Controles y exposiciones.

Bibliografía

Básica
  1. Lima E., Variedades Diferenciáveis. Monografías de Matemática, Nº15, IMPA, Rio de Janeiro, 1961.
  2. Hirsch, M. W. Differential Topology, Springer Verlag 1977.
  3. R. Abraham, Marsden, J., T. Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Springer-Verlag. 2nd Edition, 1988.
  4. Doubrovine, B. Novikov, S. y Fomenko, A., Géométrie Contemporaine. Parties I, II et III. Springer-Verlag, 1990.
  5. Lang, S., Differentable and Riemannian Manifolds, 3rd Edition. Springer Verlag, 1995.
  6. Madsen, I., Tornehave, J. From Calculus to Cohomology. Cambridge University Press, 1997.
  7. Boothby, W., Introduction to Differentiable Manifolds, 2nd Edition. Academic Press, 2002.
  8. Lee, J. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2003.
  9. Barden, D. Thomas, Ch. An Introduction to Differential Manifolds. Imperial College Press, 2003.
  10. Plaza, S. Variedades Diferenciables. Notas de curso, 2003.
  11. Lee, J. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2003.
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